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Un curso de Estructuras Algebraicas

El objetivo de esta entrada es enlazar los vídeos de un curso completo de Estructuras Algebraicas siguiendo el programa de la asignatura de segundo del grado en la Universidad de Valencia. La asignatura puede verse como una preparación para estudiar Teoría de Galois en tercero. Por ello, se cubren los conceptos básicos de grupos y anillos.

IMPORTANTE: Al empezar a ver cada vídeo, es irecomendable leer el resumen del vídeo y las notas, si las hubiera. En algunas ocaciones hay correcciones a lo que se dice en el  vídeo o comentarios sobre si lo que se explica en el vídeo es importante o no.

Tema 1: Grupos

Contenidos: Conceptos de grupo, subgrupo, subgrupo normal, coclase, ejemplos de grupos, grupo cociente, homomorfismos, teoremas de isomorfía.

Problemas del Tema 1-Relación 1

Problemas del Tema 1-Relación 2

Tema 2: Acciones de grupos

Contenidos: Definición de acción, representaciones por permutaciones, Teorema de Cayley, órbitas y estabilizadores,  clases de conjugación, centralizadores, ecuación de clases, p-grupos.

Problemas del Tema 2

Control de los Temas 1 y 2

Estos vídeos son la solución de un control de los Temas 1 y 2. Siempre es recomendable intentar hacer los problemas por uno mismo antes de ver la solución en los vídeos, pero en los vídeos de controles especialmente. Recomiendo estudiar antes cuidadosamente la teoría y los problemas de los temas correspondientes, después intentar hacer los problemas (se puede parar el vídeo nada más ver el enunciado) y solo después, si el problema no ha salido, ver el vídeo. Es un buen entrenamiento.

Tema 3: Grupo simétrico

Contenidos: Notación de ciclos, trasposiciones, órdenes de elementos, clases de conjugación en el grupo simétrico, subgrupos normales de los grupos simétricos.

Problemas del Tema 3

Tema 4: Teoría de Sylow

Contenidos: Teoremas de Sylow, aplicaciones.

Problemas del Tema 4

Control de los Temas 3 y 4

Tema 5: Anillos

Contenidos: Concepto de anillo, cuerpo, ideal, anillo cociente, homomorfismos de anillos.

Tema 6: Anillos de polinomios

Contenidos: Algoritmo de división, Teorema de ideales principales, polinomios irreducibles, Teorema de Factorización Única, polinomios irreducibles, criterios de irreducibilidad, raíces de polinomios.

Problemas de los Temas 5 y 6

Examen

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¡Bienvenidos al nuevo curso!

Espero que hayáis pasado un buen verano. Ahora toca empezar un nuevo curso, y deseo que lo hagáis con tantas ganas como yo. Los años que se está estudiando la carrera son, en general, grandes años. Especialmente el último curso: ya se ve la carrera “terminada”, ya se conoce a los compañeros desde hace tiempo, espero que se tenga la madurez matemática necesaria para apreciar la belleza de algunas ideas y razonamientos, la alegría de ver como se es capaz de hacer cosas que al principio parecían inimaginables,  etc.

Para un profesor de universidad, el fin del curso significa disponer de todo el tiempo para dedicarse a su otra labor; la investigación. Es por ello que he estado este verano descansando de blog y vídeos. Sin embargo, han ocurrido demasiadas cosas que me han hecho querer escribir sobre ellas aquí. Cuando empecé con el blog, pensaba que llegaría un momento en el que habría terminado con todos los temas del funcionamiento del mundo académico que deseaba tratar. Ahora veo que no es así. Cada vez hay más asuntos que me gustaría comentar y no tengo tiempo para tanto. Por ello no sé si este curso seguiré escribiendo en el blog tanto como el curso pasado. Eso sí, en cualquier caso estaré encantado de comentar cualquier asunto con quien así lo desee.

Salvo novedad de última hora, este lunes se decidió la docencia que voy a impartir este curso (después de haber empezado con el tema en junio, con todo el dolor de cabeza que a los últimos en escoger de mi departamento nos produce el proceso cada año). Las circunstancias han querido que este año haya tenido más opciones para elegir que cualquier otro año, así que estoy  contento en este aspecto. Finalmente, impartiré “Teoría de Grupos” y “Representaciones y Caracteres de Grupos” en quinto, “Estructuras Algebraicas” en segundo y algunos seminarios de “Álgebra Lineal” en primero. Además de una asignatura del Master en Investigación Matemática. Muchas horas, por lo que no se cuántas de las cosas que quiero hacer podré hacer.  Aun así, mi elección original implicaba dar más horas pero las circunstancias (por ponerlo de forma no polémica)  también han querido que no sea así. Los que tuvieseis intención de matricularos de Álgebra de cuarto en castellano os llevaréis una “agradable” sorpresa el día que os toque hacerlo, y no solo por la subida del precio de la matrícula (que en esta asignatura será exactamente igual que en las demás, no os preocupéis más de lo debido en este sentido). Como pista, decir que la sorpresa será especialmente “agradable” para quien no entienda valenciano.

 

Un curso básico de Matemáticas para Ingenieros

Tras los vídeos de la asignatura que he impartido este curso en la licenciatura de matemáticas, voy con el curso de matemáticas básicas que he impartido se septiembre a diciembre de 2011 en Ingeniería Informática e Ingeniería Multimedia.  Seguramente este fin de semana escribiré otra entrada  sobre ello, pero de momento solo decir que todo el curso se impartió siguiendo el llamado “flip teaching” o “inverted classroom”. En aquel entonces ni siquiera sabía que estos términos existían o pudieran existir. Ni me planteé si sería algo nuevo. Sencillamente, como explicaré en dicha entrada, dadas las circunstancias, tuve claro que era la forma correcta de impartir esta asignatura. Desde entonces he oido lo del “flip teaching” un par de veces, siempre procedentes de Estados Unidos. A buen seguro dentro de poco empezamos a oir a todos los “innovadores docentes”, pedagogos, aficionados a las TIC (ni siquiera se lo que significan estas siglas…solo que salen mucho en temas relacionados con estos), investigadores en docencia de las matemáticas, etc, decir que hay que hacerlo, e incluso pensarán que es algo novedoso y que están haciendo el descubrimiento del siglo, por no decir del milenio. Tiempo al tiempo. Vamos con el curso. Como también explicaré en dicha entrada es muy básico, y la mayor parte de él apta para estudiantes de bachillerato.

Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales

Problemas de juanmemol del Tema 1

Tema 2: Vectores en {\mathbb R}^n. Diagonalización.

Problemas de juanmemol del Tema 2

Tema 3: Cáculo diferencial

Problemas de juanmemol del Tema 3

Tema 4: Cálculo integral

Problemas de clase del Tema 4

Problemas de juanmemol  del Tema 4

Tema 5: Estadística

Problemas de clase del Tema 5

Problemas de juanmemol del Tema 5

Un curso de Teoría de Galois

 

La segunda parte de un primer curso de Álgebra Abstracta suele ser Teoría de Galois. Aquí presentamos un un curso completo de Teoría de Galois, con exámenes incluidos.

Tema 6: Anillos, cuerpos y polinomios

Contenido: Anillos, ideal, anillo cociente, cuerpo, homomorfismo de anillos, anillo de polinomios, criterios de irreducibilidad, característica,…

Problemas del Tema 6

Tema 7: Extensiones de cuerpos

Contenido: Extensiones de cuerpos, ejemplos, transitividad del grado, extensiones algebraicas y trascendentes, Teorema del Elemento Algebraico

Problemas del Tema 7

Examen del Tema 7

Tema 8: Teoría de Galois

Contenido: Introducción a la Teoría de Galois, existencia y unicidad de cuerpos de escisión cuerpos finitos, Teorema del Elemento Primitivo, grupo de Galois, cuerpo fijo, extensiones de Galois, extensiones normales, Teorema Fundamental de la Teoría de Galois

Tema 9: Resolubilidad de ecuaciones polinómicas por radicales

Contenido: Utilizamos la teoría del tema anterior para demostrar que una ecuación polinómica es resoluble por radicales si y solo si el grupo de Galois de la ecuación es resoluble. Este teorema establece una fascinante, y en principio asombrosa, relación entre la resolución de ecuaciones polinómicas, la teoría de cuerpos y la teoría de grupos.

Problemas de los Temas 8 y 9

Examen de los Temas 8 y 9

Este es todo el curso que he impartido. Sin embargo, la Teoría de Galois tiene muchas otras aplicaciones interesantes a las que no da tiempo a llegar. En las próximas semanas intentaré grabar vídeos sobre algunas de ellas.

Un curso de Teoría de Grupos

Ya hemos terminado este primer curso grabando vídeos. En esta entrada y las próximas daré enlaces a los vídeos  y explicaré brevemente los contenidos de los tres cursos que he impartido (tratando como cursos distintos, aunque realmente ha sido la misma asignatura, Teoría de Grupos y Teoría de Galois). Empiezo con el de Teoría de Grupos.

Este curso iba dirigido a estudiantes de cuarto de matemáticas que vieron una introducción a la teoría de grupos en primero, nada más llegar a la universidad, pero desde entonces han pasado tres años sin que los grupos hayan aparecido en ninguna otra asignatura (curiosidades del plan de estudios). Por ello empiezo desde definición de grupo pero el ritmo de los primeros temas (especialmente en lo que se refiere a la teoría que explico en los vídeos) es rápido.

Tema 0: Divisibilidad:

Contenidos: Propiedades básicas de la aritmética de enteros

Tema 1: Nociones básicas de grupos

Contenidos: Grupo, subgrupo, coclases, subgrupo normal,  Teorema de Lagrange, grupo cociente, grupos cíclicos,…

Problemas del Tema 1

Tema 2: Homomorfismos de grupos

Contenidos: Definición de homomorfismo, núcleo, teoremas de isomorfía, automorfismos, automorfismos internos, automorfismos de grupos cíclicos

Problemas del Tema 2

Tema 3: Acción de un grupo sobre un conjunto

Contenidos: Definición de acción, representación por permutaciones, Teorema de Cayley, órbitas y estabilizadores, clases de conjugación y centralizadores, ecuación de clases, p-grupos.

Problemas del Tema 3

Más problemas de los Temas 1 al 3

Tema 4: Grupos de permutaciones

Contenidos: Notación de ciclos, órdenes de elementos, signatura.

Problemas del Tema 4

Tema 5: Teoría de Sylow

Contenidos:  Teoremas de Sylow, estudio de los grupos de ciertos órdenes utilizando Teoría de Sylow.

Problemas del Tema 5

Apéndice 1: Sobre órdenes de grupos simples

Contenido: En el Tema 5  hemos visto como usar la Teoría de Sylow para ver que no hay grupos simples de ciertos órdenes. Con algunas ideas adicionales, se puede ir más alla y descartar la existencia de grupos simples de orden n<1000 excepto n=60, 168, 360, 504, 660 o 720. En estos vídeos presentamos estas ideas. Sí que existen grupos simples de orden 60, 168, 360, 504 y 660. No existen grupos simples de orden 720, pero demostrar esto requiere bastante más trabajo que para cualquier otro valor de n<1000. El material de estos vídeos  es más avanzado de lo necesario para un primer curso de teoría de grupos.

Apéndice 2: Grupos resolubles

Contenido: Rápida introducción a los grupos resolubles y sus propiedades básicas. La idea es presentar únicamente el material que será necesario en Teoría de Galois.

Raíces de la unidad

 

Hay bastantes resultados en álgebra que solo son ciertos sobre cuerpos que contienen “suficientes” raíces de la unidad. En este vídeo, vemos que dado un cuerpo cualquiera, siempre existe una extensión que contiene raíces n-ésimas de la unidad para cualquier natural n.

Un truco interesante para calcular cuerpos fijos

En estos dos vídeos describimos la correspondencia de Galois de la extensión E/\mathbb{Q}, donde E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\mathbb(\sqrt{2}+i). En el primero de ellos utilizamos la primera expresión dada para E, y de esta forma el problema es bastante sencillo. En el segundo, no la usamos. Esto crea algunas dificultades. La mejor forma de evitarlas es utilizando el truco descrito en el vídeo. Esta idea se utiliza con frecuencia en Álgebra. No solo en Teoría de Galois. En el fondo, la misma idea también aparece con cierta frecuencia en problemas puramente de Teoría de Grupos. En el contexto del vídeo, ¿sabes generalizar el resultado cuando el elemento del grupo de Galois tiene orden n>3?

Teoría de Grupos en Teoría de Galois

Un primer curso de Álgebra Abstracta en España suele ser una primera parte de Teoría de Grupos y una segunda parte de Teoría de Galois. Evidentemente, para usar la Teoría de Galois es necesario tener por lo menos una cierta soltura con la Teoría de Grupos estudiada anteriormente. Sin embargo, no es extraño que cuando llega el momento de manejar la Teoría de Galois la Teoría de Grupos no esté todo lo fresca que sería deseable. En este vídeo mostramos las ideas básicas de Teoría de Grupos que son necesarias en Teoría de Galois.

Cuerpos intermedios de una extensión cíclica

Un grupo cíclico tiene “pocos” subgrupos. Esto hace que las extensiones de Galois con grupo de Galois cíclico tienen la ventaja de que presentan pocos cuerpos intermedios. Este vídeo es la continuación del problema iniciato en la entrada anterior.

Grupo de Galois de una extensión

 

En Teoría de Grupos hemos dedicado mucho trabajo a describir los subgrupos de ciertos grupos. Ahora, utilizaremos este trabajo para poder describir, usando el Teorema Fundamental  de la Teoría de Galois, los cuerpos intermedios de ciertas extensiones de cuerpos. En primer paso es encontrar el grupo de Galois de la extensión.