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Grupos con no más de un subgrupo de cada orden

5 octubre, 2011

 

En este vídeo, utilizando la función de Euler, demostramos que un grupo finito G  con la propiedad de que para todo $d$ divisor de |G| existe a lo sumo un subgrupo de orden d entonces G es cíclico. Como siempre os digo, (practicamente) cualquier resultado permite hacerse nuevas preguntas. Por ejemplo, en este caso podríamos preguntarnos lo siguiente. ¿Qué sucede que para cada divisor d de |G| existen a lo sumo 2 subgrupos  de orden d? ¿Podemos afirmar todavía que G es ciclico? La respuesta es que sí, pero la forma en la que sé demostrarlo requiere resultados que aún no hemos estudiado. Esto no quiere decir que no podáis hacerlo; no he intentado hacerlo usando solo resultados que conocéis. Es probable que no se pueda pero nunca está mal intentarlo: seguro que se aprende algo.  Así son las matemáticas, muchas veces no se tienen las suficientes herramientas para demostrar lo que se quiere demostrar, por mucho que sea cierto. Pero  intentarlo ayuda a ver la utilidad de nuevos resultados que iréis aprendiendo.

Y dado que estoy diciendo que la respuesta con “a lo sumo dos subgrupos” es sí, ¿qué sucede si debilitamos la hipótesis a “a lo sumo 3 subgrupos”? ¿Existe algún grupo no cíclico que satisfaga esta hipótesis?

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