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Subgrupos de un grupo cíclico

6 octubre, 2011

Aquí vemos que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Como comente en clase, la demostración es comparable a la demostración de la Identidad de Bezout.

Siguiendo con la idea de preguntarnos cosas ante cualquier resultado, voy a proponer aquí una posible generalización de este resultado, aunque va a tener respuesta negativa. Cualquier grupo G está generado por algún subconjunto X. En el peor de los casos, podríamos tomar X=G. Es decir, dado cualquier grupo G, se tiene que G=\langle G\rangle. Los grupos cíclicos son aquellos que se pueden generar por un conjunto formado por un único elemento. Por tanto, dado un grupo G, podemos definir d(G) como el cardinal del menor subconjunto X de G tal que G=\langle X\rangle . Con esta notación, el resultado de este vídeo dice que si H es un subgrupo de G y d(G)=1, entonces d(H)\leq d(G). Parece natural hacerse la siguiente pregunta: ¿es posible eliminar la hipótesis d(G)=1? Aún no tenéis las herramientas necesarias para responder a esta pregunta, pero cuando veámos el tema de grupos de permutaciones ya os resultará posible demostrar que existen grupos G con subgrupos H\leq G tales que d(G)=2 y d(H) es tan grande como se quiera.

Voy a terminar esta entrada con un comentario sobre lo que está siendo este blog últimamente. Mi intención era tratar temas más variados, pero estoy grabando tantos vídeos de grupos (y de matemáticas básicas para ingeniería) que estas semanas no me queda tiempo para otra cosa. En el próximo par de semanas espero conseguir adelantarme a la marcha de estas asignaturas y a partir de ahí sacar tiempo para grabar vídeos de otros temas. ¡Y para escribir más artículos de opinión, que hay bastantes cosas que me gustaría decir!. A ver si encuentro tiempo este fin de semana para escribir uno de éstos.

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