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Clasificación de los grupos de orden bajo

26 octubre, 2011

A los matemáticos, siempre que se tiene una estructura matemática nos gusta clasificar todos los objetos con dicha estructura. En particular, nos gustaría clasificar todos los grupos finitos. Sin embargo, a día de hoy este objetivo no parece realizable.

La clasificación de una pequeña parte de todos los grupos finitos, los llamados grupos simples finitos se considera el mayor éxito de las matemáticas del siglo XX. Una muestra de la enorme dificultad de dicha tarea es que esta clasificación de los grupos simples finitos no lleva asociada el nombre de ningún matemático, como sucede con cualquier otro teorema. Fue el resultado del trabajo de como mínimo 100 matemáticos a los largo de muchos años. Se consideró como terminada alrededor del año 1980, pero sin que existiese un artículo considerado como el que finalmente terminaba la clasificación. De hecho, es incluso discutible lo de que la clasificación se completó en el siglo XX. Años despues de considerarse terminada, se observo que una parte importante de dicha clasificación nunca fue publicada. Por ello, en los últimos años del siglo XX, dos matemáticos, Aschabacher y Smith, se propusieron escribir la parte que faltaba: dicha parte fue finalmente publicada en dos libros en el año 2004 y que ocuparon alrededor de 1000 páginas. Hoy en día sigue habiendo dos grupos independientes de matemáticos revisando toda la clasificación de los grupos simples con el objetivo de tratar de simplificarla.

Por lo menos, los grupos de orden “bajo” sí que se pueden clasificar. Entre otros, todos los grupos de orden menor que 2000 están en programas informáticos (excepto los de orden 1024, ya que hay alrededor de 50.000 millones de estos). Al menos, para orden “realmente bajo”, las cosas son mucho más sencillas. En esta página se pueden encontrar todos los grupos de orden menor o igual que 16. En el siguiente vídeo, clasificamos los grupos no abelianos de orden 8. (Clasificar todos los grupos finitos abelianos también es sencillo.)

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