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p-grupos de orden bajo

28 octubre, 2011

En la entrada de ayer comentaba que  no es razonable esperar clasificar todos los grupos finitos. Una de las razones es que clasificar simplemente los grupos finitos de orden una potencia de un primo se considera irrealizable. Como mencione ayer, ya para un orden relativamente pequeño como 2^{10} hay cerca de 50.000 millones de grupos no isomorfos de dicho orden. Ni siquiera se sabe el número de grupos de orden 2^{11}. Sin embargo, cuando el exponente es realmente pequeño la situación es fácil. En el siguiente vídeo demostramos que todo grupo de orden p^2 es abeliano.

Para orden p^3 el problema también es relativamente sencillo. Se puede demostrar que dado cualquier primo p hay exactamente dos grupos no abelianos de orden p^3: los llamados grupos extraespeciales de orden p^3. La cosa empieza a complicarse para orden p^4. Por ejemplo, el número de grupos no abelianos de orden p^4 depende del primo p.

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