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Lema de Gauss

7 noviembre, 2011

 

Hace unos días puse un vídeo explicando el método para encontrar raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. Si un polinomio con coeficientes racionales de grado n  tiene una raiz racional, entonces se puede factorizar como el producto de dos polinomios de grado menor que n (uno de grado uno y otro de grado n-1). Pero, ¿qué sucede si no tiene raíces racionales? Entonces lo máximo a lo que podemos aspirar es a factorizarlo como el producto de dos polinomios de grado menor (pero cada uno de ellos de grado mayor que uno). Recordamos que si dicha factorización no existe, entonces el polinomio se llama irreducible. Como mencioné, vamos a presentar varios vídeos sobre factorización de polinomios. Un resultado que suele ser útil en este contexto es el Lema de Gauss, que nos asegura si un polinomio con coeficientes enteros es irreducible en \mathbb{Z}, entonces también es irreducible en \mathbb{Q}. Es decir, si queremos probar que es irreducible en \mathbb{Q}, nos basta probar que es irreducible en \mathbb{Z}. Aquí está la demostración.

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