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Criterio de Eisenstein

8 noviembre, 2011

De igual modo que cuando se trabaja con números enteros muchas veces es conveniente expresarlos como producto de números primos, cuando se trabaja con polinomios muchas veces es conveniente expresarlos como producto de polinomios irreducibles (véase la entrada de ayer para la definición de polinomio irreducible). Es decir, el papel que juegan los polinomios irreducibles dentro de los polinomios es similar al que juegan los números primos dentro de los numeros enteros.

Sin embargo, hay algunas diferencias. Dado un número natural, por muy grande que sea,  se puede saber de forma “rápida” (en el futuro espero tratar de forma más precisa lo que quiero decir por rápida) si dicho número es primo o no. (En cualquier caso, hay un algoritmo claro para saber si es primo o no: dado n\in\mathbb{N}, basta con ver si algún número natural m < n divide a n, y esto es un número finito de comprobaciones.)

Pensemos ahora en el problema de factorizar polonomios, digamos con coeficientes en \mathbb{Q}. Si el grado del polinomio f es menor o igual que 3, entonces  es inmediato comprobar que f es irreducible en \mathbb{Q} si y solo si tiene alguna raiz en \mathbb{Q}. En un vídeo anterior ya vimos que es sencillo saber si un polinomo tiene raíces racionales, luego el problema de factorizar polinomios de grado menor o igual que 3 como producto de polinomios irreducibles es sencillo.

Supongamos ahora que el grado de f es 4, y que f no tiene raíces racionales. Entonces f es irreducible si y solo si no se puede factorizar como el producto de dos polinomios irreducibles de grado 2. Pero, ¿cómo comprobamos si esto es posible o no? Por analogía con el problema de ver si un número es primo o no, podríamos pensar en hacerlo probando con todos los polinomios irreducibles de grado 2: si alguno de estos polinomios de grado 2 divide a f entonces f no es irreducible y en caso contrario sí que lo es.  Este argumento es teóricamente correcto, pero hay una diferencia: es sencillo ver que hay infinitos polinomios irreducibles de grado 2 (por ejemplo, todos los de la forma x^2+n, con n\in\mathbb{N}).

Es decir, saber si un polinomio es irreducible o no es un problema mucho más complicado que saber si un número es primo o no. De hecho, no se conoce ningún criterio general que nos permita determinar si un polinomio dado es irreducible. Hay algunos resultados que nos permiten saberlo en casos particulares. Uno de ellos es el criterio de Eisenstein, que presentamos en el siguiente vídeo.

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