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Existencia de elementos trascendentes

16 marzo, 2012

 

Cuando se define un concepto en matemáticas conviene tener cuidado de que lo que se está definiendo realmente existe. Dado un número cualquiera no es sencillo demostrar que es trascendente. En el siguiente vídeo sin embargo damos un sencillo argumento de Cantor (basado en los conceptos básicos sobre cardinales de conjuntos) en el que se demuestra que casí todos los números reales son trascendentes: si escogemos un número real al azar, la probabilidad de que sea trascendente sobre los racionales es 1.

Merece la pena destacar que esta no es la demostración original de la existencia de números trascendentes. Dicha demostración se debe a Liouville y, viendolo ahora,  es bastante más complicada. Sin embargo, en la epoca de Liouville no se conocian los conceptos de conjunto numerable y no numerable.  Esto es una buena muestra de como un nuevo concepto puede simplificar de forma notable algunos resultados.

En el futuro pretendo explicar la demostración de Liouville, así como demostrar que ciertos números son trascendentes (e, \pi,...).

 

 

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