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Número de subespacios de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito

4 mayo, 2012

Comprobar que cualquier espacio vectorial de dimensión mayor que uno sobre un cuerpo infinito tiene infinitos subespacios vectoriales es un sencillo ejercicio de álgebra lineal. Ahora, ¿cuántos subespacios tiene un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo con p elementos? En el siguiente vídeo mostramos como obtener la respuesta. También es un ejercicio de álgebra lineal, pero en este caso hay que tener más cuidado. Como consecuencia, teniendo en cuenta lo visto en el vídeo anterior, deducimos el número de subgrupos de cada orden de un grupo abeliano elemental.

Nótese que lo mismo que hago para el cuerpo con p elementos funciona para el cuerpo con p^a elementos para cualquier natural a.

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