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Un curso de Teoría de Grupos

22 mayo, 2012

Ya hemos terminado este primer curso grabando vídeos. En esta entrada y las próximas daré enlaces a los vídeos  y explicaré brevemente los contenidos de los tres cursos que he impartido (tratando como cursos distintos, aunque realmente ha sido la misma asignatura, Teoría de Grupos y Teoría de Galois). Empiezo con el de Teoría de Grupos.

Este curso iba dirigido a estudiantes de cuarto de matemáticas que vieron una introducción a la teoría de grupos en primero, nada más llegar a la universidad, pero desde entonces han pasado tres años sin que los grupos hayan aparecido en ninguna otra asignatura (curiosidades del plan de estudios). Por ello empiezo desde definición de grupo pero el ritmo de los primeros temas (especialmente en lo que se refiere a la teoría que explico en los vídeos) es rápido.

Tema 0: Divisibilidad:

Contenidos: Propiedades básicas de la aritmética de enteros

Tema 1: Nociones básicas de grupos

Contenidos: Grupo, subgrupo, coclases, subgrupo normal,  Teorema de Lagrange, grupo cociente, grupos cíclicos,…

Problemas del Tema 1

Tema 2: Homomorfismos de grupos

Contenidos: Definición de homomorfismo, núcleo, teoremas de isomorfía, automorfismos, automorfismos internos, automorfismos de grupos cíclicos

Problemas del Tema 2

Tema 3: Acción de un grupo sobre un conjunto

Contenidos: Definición de acción, representación por permutaciones, Teorema de Cayley, órbitas y estabilizadores, clases de conjugación y centralizadores, ecuación de clases, p-grupos.

Problemas del Tema 3

Más problemas de los Temas 1 al 3

Tema 4: Grupos de permutaciones

Contenidos: Notación de ciclos, órdenes de elementos, signatura.

Problemas del Tema 4

Tema 5: Teoría de Sylow

Contenidos:  Teoremas de Sylow, estudio de los grupos de ciertos órdenes utilizando Teoría de Sylow.

Problemas del Tema 5

Apéndice 1: Sobre órdenes de grupos simples

Contenido: En el Tema 5  hemos visto como usar la Teoría de Sylow para ver que no hay grupos simples de ciertos órdenes. Con algunas ideas adicionales, se puede ir más alla y descartar la existencia de grupos simples de orden n<1000 excepto n=60, 168, 360, 504, 660 o 720. En estos vídeos presentamos estas ideas. Sí que existen grupos simples de orden 60, 168, 360, 504 y 660. No existen grupos simples de orden 720, pero demostrar esto requiere bastante más trabajo que para cualquier otro valor de n<1000. El material de estos vídeos  es más avanzado de lo necesario para un primer curso de teoría de grupos.

Apéndice 2: Grupos resolubles

Contenido: Rápida introducción a los grupos resolubles y sus propiedades básicas. La idea es presentar únicamente el material que será necesario en Teoría de Galois.

6 comentarios
  1. Clara Moncada permalink

    Me parece sumo interesante

  2. Miguel permalink

    Muchísimas gracias por este blog y por estas clases tan desinteresadas y además de nivel universitario que en castellano hay muy poquito. Un saludo.

    • Gracias por el comentario. Ahora tengo el blog parado, pero supongo que en septiembre volveré a escribir en el blog y en agosto o septiembre seguiré grabando vídeos. Claro que hay pocos vídeos de nivel universitario. Observarás que casi todos los vídeos donde se explican matemáticas tienen anuncios, es decir, dan dinero. Y los vídeos para estudiantes de matemáticas solo pueden interesar a muy poca gente, así que no son rentables. Así funciona esta sociedad. Es una de las cosas de las que quería escribir en el blog, y que supongo que haré con más detalle proóximamente. Mis vídeos, o este blog, nunca tendrán anuncios.

  3. Mariano permalink

    Agradecido por estos videos. Me parecen muy interesantes. Le animo a seguir subiendo mas.

  4. Parece que hay un fallo en el sentido de que en la teoría del tema 5 se repiten los problemas del tema 4 y luego se pasa a los problemas del tema 5, con lo cual no hay teorìa del tema 5
    ¿ES así o me he equivocado al leer?. En caso de que sea un error ¿lo puede subsanar?
    Gracias de antemano por su atención

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