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Elemento primitivo de cierta extensión

Volvemos con la Teoría de Galois. En este vídeo, vemos como encontrar un elemento primitivo utilizando Teoría de Galois. También podría hacerse utilizando la demostración del Teorema del Elemento Primitivo.

Grupo de automorfismos de un p-grupo abeliano elemental

 

Un último vídeo sobre p-grupos abelianos elementales. Una vez más utilizando álgebra lineal, calculamos el grupo de automorfismos de dichos p-grupos.

Número de subespacios de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito

Comprobar que cualquier espacio vectorial de dimensión mayor que uno sobre un cuerpo infinito tiene infinitos subespacios vectoriales es un sencillo ejercicio de álgebra lineal. Ahora, ¿cuántos subespacios tiene un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo con p elementos? En el siguiente vídeo mostramos como obtener la respuesta. También es un ejercicio de álgebra lineal, pero en este caso hay que tener más cuidado. Como consecuencia, teniendo en cuenta lo visto en el vídeo anterior, deducimos el número de subgrupos de cada orden de un grupo abeliano elemental.

Nótese que lo mismo que hago para el cuerpo con p elementos funciona para el cuerpo con p^a elementos para cualquier natural a.

Grupos abeliano elementales como espacios vectoriales

Por definición, un grupo es abeliano elemental si es un producto directo de copias de un grupo cíclico de orden primo para un primo fijo. Estos grupos juegan un papel importante en teoría de grupos: son las piezas básicas del esqueleto de los grupos resolubles. Utilizando lenguaje matemático, cualquier grupo resoluble tiene una cadena de subgrupos normales 1=N_0\trianglelefteq N_1\trianglelefteq\cdots N_k=G de forma que N_i/N_{i-1} es abeliano elemental. La ventaja que presentan estos grupos es que para estudiarlos se pueden utilizar las herramientas del álgebra lineal, algo que es muy poco frecuente en teoría de grupos. En el siguiente vídeo vemos como, de hecho, los grupos abelianos elementales son espacios vectoriales sobre el cuerpo con p elementos.

Mi opinión sobre el Real Decreto Ley de 20 de abril

 

En este Real Decreto se tratan dos asuntos, en principio no relacionados entre sí, sobre la universidad española.

Por un lado, se establece que el número de horas de clase que debe dar un profesor que no haya investigado en los últimos 6 años aumente (de 24 a 32), y que el de aquellos que sí han investigado a lo largo de su carrera disminuya (de 24 a 16), siempre que dicha carrera lleve durando un mínimo de 18 años. En su espíritu, esta medida me parece un gran acierto: no puede ser que quien produce mucho cobre prácticamente lo mismo, y en muchas cosas pueda estar por debajo (por ejemplo, en el orden de elección de docencia), que quien no produce nada. Sin embargo, como parece que no puede ser de otra forma en este país, es muy perfeccionable. No es lo mismo quien tenga un sexenio hace 7 años que quien no ha tenido uno en 40 años; no es lo mismo quien tiene méritos para un premio Nobel que quien tiene los méritos justos para un sexenio, etc. En este país parece que siempre hay que meter a todo el mundo en unos pocos sacos, y así es inevitable que haya injusticias. Pero no voy a entrar en más detalles sobre esto en este artículo.   Lo que sí haré es mencionar un importante problema que le veo a esta parte del Real Decreto.

Por otro lado, establece una importante subida de las tasas que tienen que pagar los estudiantes para matricularse. Según he entendido a mis alumnos de un mínimo de un 20% en la Universidad de Valencia. Esto ya me cuesta más entenderlo. O mejor dicho, me temo que lo entiendo demasiado bien, por desgracia. Veamos como lo entiendo. Es obvio que a ninguna empresa (que tenga competencia por lo menos) se le ocurre subir sus precios al menos un 20% de la noche a la mañana, y menos en estos tiempos. Perdería más de lo que ganaría. Entonces, ¿cómo es que   este Real Decreto lleva a que las universidades lo hagan? Es fácil, hay cosas que siempre que se puedan pagar hay que pagarlas. Además es algo que afecta a los estudiantes, y ellos tienen poco poder político, se les oye poco,…o de eso se aprovechan sistemáticamente, espero que cambie.

Y aquí es donde confluyen las dos medidas: los estudiantes van a tener que pagar más para recibir una docencia que, en general, será de peor calidad. ¿Por que? Porque, como en cualquier cosa, si algo se hace por afición es de esperar que se haga mejor que si se hace por obligación. Y en general si a alguien le gusta aquello de lo que tiene que dar clase, se esforzará por saber lo máximo posible acerca de ello, es decir, investigará. Pero la primera medida dice que quien no investiga dará más clases.

Si esto puede ser perjudicial para los alumnos, ¿qué hay que hacer entonces con los profesores que no investigan? ¿Pagarles como a los que sí investigan por mucho que trabajen mucho menos y peor? Dado que parece claro que la respuesta a esta pregunta debe ser “no” y que lo establecido en el Real Decreto puede ser perjudicial para la formación de los alumnos, voy a ofrecer una alternativa.

Pero antes de ello un comentario. Como he mencionado en este artículo, a los gestores se les oye mucho, y ellos sí que tienen peso político.  Aquí viene la parte que realmente no entiendo del Real Decreto. En general, los gestores no tienen sexenios, o como mínimo no los tienen en los últimos 6 años, con lo que les correspondería dar 32 créditos. ¿Hacerles trabajar…gratis? Me da que no va a suceder. Me consta que ya han empezado a quejarse, y que ya hay conversaciones con el ministerio en el sentido de que consideren la gestión igual que la investigación. Sería una agradable sorpresa que la respuesta del ministerio fuese negativa.

Voy con la alternativa que prometía. Como también indicaba en este artículo, la gestión no se hace por amor al arte, como es el caso de la investigación en España, siempre es (bien) remunerada y recompensada. Esta es la alternativa que ofrezco para que los profesores a los que les correspondería dar 32 créditos se mantengan en los 24 actuales: que hagan gestión gratis. De esta forma se matan al menos tres pájaros de un tiro:

1) La calidad de la docencia se mantendría como está.

2) Quien no investiga, al menos tendría que trabajar algo más de lo que ha tenido que hacerlo hasta ahora.

3) Se ahorraría una importante cantidad de dinero. Esto debería permitir eliminar (o reducir mucho) la subida de los precios para los estudiantes.

Creo que esta idea muestra que es posible que haya recortes en educación sin que ello influya en la calidad, ni en los bolsillos de los estudiantes. Pero claro, no las medidas indiscriminadas que se toman. Además, creo que una medida en este sentido tendría un apoyo muy amplio (de casi todo el mundo excepto de los gestores).

¿Tiene posibilidades de tener éxito? Al igual que con la medida aprobada con el ministerio, lo dudo mucho. A los gestores se les oye mucho. Pero si los estudiantes hacen que se les oiga, y creo que esto es posible, quien sabe.  Al menos me parece que en el 68 se les escuchó. En el fondo, sin ellos los gestores no tendrían gestión que hacer. ¿Cómo pueden hacer que se les escuche? Tengo ideas al respecto. Quizás las trate más adelante.

La gestión: quien reparte se queda la mejor parte

 

Como dije en esta entrada, los profesores de universidad son “Personal Docente e Investigador”, es decir, se supone que sus funciones son docentes e investigadoras. Sin embargo, nunca le ha pasado nada a un profesor por no investigar. Incluso algunos se muestran orgullosos de no hacerlo. Sin embargo, como ya mencioné en esta entrada, hay una tercera función que se recompensa como ninguna otra: la gestion. Los profesores que hacen investigación, especialmente si esta es reconocida internacionalmente como de alta calidad, tienen que dedicar una parte importante de su tiempo a “gestión de la investigación”: hacer de referee (véase esta entrada), evaluar solicitudes de proyectos de investigación de otros investigadores, preparar proyectos de investigación propios, etc Véase esta entrada del blog de Izabella Laba, una profesora de matemáticas de una universidad canadiense, para más información sobre el tiempo que ha de dedicar a la “gestión de la investigación” un profesor que investiga: según sus cálculos tres meses y medio por año de trabajo a tiempo completo.

Estos tres meses y medio por año no aportan prácticamente nada, ni al sueldo ni al curriculum. Entonces, ¿cuál es la gestión “de la buena”? La de la burocracia de los asuntos locales: director de departamento, secretario de departamento, decano, vicedecano, secretario de facultad, rector, vicerrector,… Veamos las razones por las que digo que ésta es la gestión de la buena:

1) Tener cualquier cargo de estos te supone un aumento de sueldo inmediato, por supuesto con independencia de lo bien o mal que lo hagas. (Por ejemplo, ser director de departamento son alrededor de 300 euros mensuales.)

2) En algunos casos (rector, vicerrector y no se cuáles más) este sueldo extra es vitalicio. (Sí, como los ministros, diputados…y una vez más con independencia de lo bien o mal que se haga.)

3) Cualquier cargo de estos supone una reducción de la carga docente. (Claro, están muy ocupados con la gestión de los asuntos locales. En cambio los que tienen que hacer gestión de la investigación tienen todo el tiempo libre del mundo, luego no merecen reducción alguna.)

4) ¿Es poco el sueldo extra por tener uno de estos cargos? No pasa nada, en la Universidad de Valencia siempre tienen opción a pedir el Complemento Autonómico. Por decirlo de forma resumida, por estar alrededor de 6 años con un cargo, te pagan lo mismo que por haber estado 12 años siendo el mejor profesor del mundo y habiendo recibido el Premio Nobel por tu investigación. Está claro qué es lo importante, ¿no?

5) Hace unos años se introdujo el sistema de Habilitaciones para poder optar a plazas de profesor titular de universidad o catedrático. Ya hablaré con más detalle sobre esto en alguna otra entrada, pero de momento solo decir que es un sistema que fue creado para luchar contra la endogamia de la universidad española. En este sistema, lo único que se valoraba era la calidad de la docencia y la investigación de los candidatos. Es obvio que duró poco.  ¿Qué se valora en el sistema actual? Docencia, investigación y…¿lo adivinas? En efecto, ¡gestión! No son pocos los casos de profesores que teniendo méritos suficientes en lo relativo a docencia e investigación para poder ser catedráticos, no pueden optar a ello por no haber hecho gestión (de la buena).

Supongo que podría seguir, pero creo que con esto queda claro. En general, como se puede leer en el artículo de Laba antes mencionado, quien auténticamente investiga tiene ocupado la mayor parte de su tiempo en la universidad con la docencia y la gestión de la investigación. ¿Y cuando investiga? Como dice Izabella, por las noches, los fines de semana,… ¿Quien cree que los gestores de la universidad dedican, por norma general, las noches y los fines de semana a la gestión? Y sin embargo la gestión esta mucho más recompensada que la investigación. ¿O tal vez no? Vayamos con la lista de recompensas por investigar:

1′) Por cada 6 años de investigación te pueden dar un sexenio, que supone 100 euros mensuales. No está mal, la tercera parte que ser director de departamento.

2′) Lo mencionado en 4) sobre el complemento autonómico.

3′) ¿Ideas? No se me ocurre nada más.

¿Por que son así las cosas? Porque quien auténticamente quiere investigar lo hace por vocación, como algo que haría, y en este país se puede decir que hace, como hobby. A su vez, como he explicado en este artículo, quien investiga suele estar ocupado, con lo cual tiene poco tiempo para hablar y, en consecuencia, se le oye poco. Sin embargo, los gestores están para eso, para que le les oiga, para repartir, para decidir el funcionamiento de las cosas,…y así funciona este país.

Definición de cuerpo de escisión

Un resultado no evidente es que todo polinomio de grado n>0 con coeficientes en un cuerpo K se puede factorizar como un producto de polinomios de grado uno con coeficientes sobre algún cuerpo E que contiene a K. El menor de tales cuerpos se llama cuerpo de escisión del polinomio. (Otro resultado no evidente es que dicho cuerpo de escisión es único salvo isomorfismo, por eso tiene sentido hablar de “el menor”.) Estos conceptos juegan un papel clave para entender la teoría de Galois. Aquí os dejo un vídeo con la definición de cuerpo de escisión.

Elegir hacer una tesis doctoral

Es normal que a mitad de sus estudios un alumno empiece a plantearse cuál va a ser su futuro una vez finalice sus estudios de grado o licenciatura. (Me llama la atención que en esta época en la que a tanta gente le gusta hablar de pedagogía, innovación educativa, etc, no parezca haber nadie que se preocupe en informar a los alumnos sobre esta cuestión tan importante para ellos. Mucha palabrería pero poca utilidad.)  Las opciones para un licenciado en matemáticas son básicamente las siguientes:
1.    Profesor en un instituto de educación secundaria, es la opción más conocida.
2.    Trabajar en una empresa. Normalmente, no desarrollará los contenidos estudiados, ya que lo que realmente interesa a la empresa es la capacidad para aprender y el razonamiento lógico – deductivo que un licenciado en matemáticas ha adquirido a lo largo de sus estudios. Es la opción por la que se decantaron la mayoría de mis compañeros de clase, quienes me confirman que no hacen nada de matemáticas.
3.    Realización de una Tesis Doctoral, normalmente es la opción elegida por los alumnos más brillantes. Esta sería la única forma de realmente continuar desarrollándose en matemáticas.

No son pocos los alumnos que ya me han preguntado sobre este tema. En esta entrada nos centraremos en esta última opción, qué es la única que realmente conozco.  El proceso se inicia a mitad de los estudios, donde algunos alumnos empiezan a plantearse esta opción.  En este proceso existen peligros que pueden llevar a truncar la carrera académica de un alumno brillante. Para empezar, es normal que el alumno no tenga la capacidad suficiente para saber qué es lo realmente bueno, ya que un buen docente puede deslumbrarlo pero sin embargo éste no tenga un perfil investigador. O puede aparentar ser un buen investigador, y realmente serlo,  pero sin embargo no hacer ni caso después a su estudiante de doctorado. Todavía más peligrosos pueden ser algunos profesores que a sabiendas que no están en condiciones de dirigir tesis, ya en cursos tempranos intentan captar a los alumnos más brillantes y claro, ¿Quién va a decir que no a un profesor? Así, el alumno queda atado y resulta bastante duro abandonar, y durante la realización de su tesis queda completamente atascado, con lo durísimo que puede resultar. Al final, o el estudiante desiste y empieza de nuevo, o el resultado a la larga es una tesis mediocre con un tribunal “amigo”, y un futuro muy incierto. Además, siendo alumno puede parecer que es lo que hay que hacer. Se puede pensar que pedirle a un profesor que te dirija le tesis puede no gustarle, etc. Es todo lo contrario. Hay que tener claras dos cosas:

1) Si un profesor te dice algo del estilo “¿quieres que te dirija la tesis?” sin que hayas mostrado ningún interés explícito en que el profesor en cuestión te dirija la tesis, mala señal. Recomiendo pensar en otro director. La iniciativa siempre debería ser del alumno y nunca del profesor.

2) A un profesor nunca  le molestará que un alumno le pida que le dirija la tesis. Es un halago para el. Quizás la respuesta sea que no por muchos posibles motivos (además de ser un halago, también es una responsabilidad muy grande, requiere invertir mucho tiempo, etc) , pero seguro que no le va a molestar.

Así pues, los pasos que recomendaría seguir son los siguientes:

1) Tener claro por uno mismo, sin ser influido por comentarios de ningún profesor, en que área se quiere trabajar.

2) Una vez se tiene claro en que área se quiere trabajar, conseguir información sobre qué profesor es el adecuado para dirigir la tesis. Sin duda, este punto es el más complicado. Prácticamente es imposible para el alumno saber que la decisión que se tome es la correcta, ya que es muy difícil para el alumno poder valorar la calidad de la investigación que realiza un profesor. Puede ser útil preguntar a un profesor en el que se vea que se puede confiar sobre los distintos aspectos a considerar, bien sea del área en la que se quiere trabajar (esto sería lo ideal) o de otra área.  Hay muchas variables posibles en función de cada uno (por ejemplo, un alumno puede querer hacer la tesis en la universidad en la que ha estudiado, o puede querer irse a otra. Algunos profesores conocemos gente en otras universidades y así podemos recomendar lugares a los que ir/posibles directores), por lo que aquí no voy a extenderme más. Quien quiera preguntarme cualquier duda sobre esto, que no dude en hacerlo.

Teoría de Galois

 

Bueno, a ver si vuelvo a escribir aquí con más frecuencia. Vamos con un vídeo en el que explico de forma breve el objetivo de la teoría de Galois.

Un conjunto infinito de números reales linealmente independientes

En un video anterior, usando un argumento elemental  de teoría de cardinales, vimos que la dimension de {\mathbb R} como {\mathbb Q}-espacio vectorial es infinito. En este vídeo vemos un resultado un poco más preciso: encontramos un conjunto infinito explícito formado por vectores linealmente independientes.  Ahora, los números que forman este conjunto infinito son trascendentes sobre {\mathbb Q}. ¿Sabes encontrar otro conjunto infinito formado por números algebraicos sobre {\mathbb Q} y linealmente independientes?